Уравнения с параметрами

1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.

Рассмотрим уравнение

F(х, у, ..., z; α,β,..., γ) = 0                   (F)

с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами α,β,  ..., γ; при всякой допустимой системе значений параметров α₀,β₀, ..., γ₀ уравнение (F) обращается в уравнение

F(х, у, ..., z; α₀,β₀,  ..., γ₀) =0                (F₀)

с неизвестными х, у,..., z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.

Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащих параметры. Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.

Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения (системы).

Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащим параметры, устанавливается следующим образом.

Определение. Два уравнения (системы)

F(х, у, ..., z; α,β, ..., γ) =0 (F),

Ф (х, у, ..., z; α,β,  ..., γ) =0 (Ф)

с неизвестным х, у,..., z и с параметрами α,β, ..., γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эк-вивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении

F(x, у,z; α,β,  ..., γ)=0 (F)

задано в виде некоторой функции от параметров:

х = х(α,β,  ..., γ);
у =  у(α,β,  ..., γ);….
z=z (α,β,  ..., γ).   (Х)

Говорят, что система функций (Х), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у,..., z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров:

F (x(α,β,  ..., γ), y(α,β,  ..., γ),…,z (α,β,  ..., γ) ≡ 0.

При всякой допустимой системе численных значений параметров α = α₀,β=β₀,  ..., γ= γ₀ соответствующие значения функций (Х) образуют решение уравнения

F(х, у, ..., z; α₀,β₀,  ..., γ₀) =0

Многогранники

Блог до навчального проекту на тему "Многогранники" http://mnogogrannik1.blogspot.com

Системы линейных уравнений и неравенств

Что такое система линейных уравнений

Система уравнений - это два или несколько уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Обычно для записи системы уравнений, их записывают в столбик и рисуют одну общую фигурную скобку. Запись системы линейных уравнений представлена ниже.

{ 4x + 3y = 6
{ 2x + y = 4

Данная запись означает, что задана система из двух уравнений, с двумя переменными. Если бы в системе было три уравнения, то речь шла бы о системе из трех уравнений. И так для любого количества уравнений.

Если в системе все присутствующие уравнения линейные, то говорят, что задана система линейных уравнений. В примере выше, как раз представлена система из двух линейных уравнений. Как уже отмечалось выше, система может иметь общие решения.

Конспект урока по теме: "Решение систем уравнений второй степени". 9-й класс
(http://festival.1september.ru/articles/313953/)

https://innakc0.blogspot.com/b/